近30年无人解开的数学难题:终于有答案了

科技 | 2022-08-21| 70

数学界几十年来的一个谜题,终于被解开了。

这个猜想和初等数论中经典的佩尔(Pell)方程:x2-d*y2=1有关。

(这里d是整数,求x、y也都是整数的解。)

在此之前,经典佩尔方程的整数解情况已得到证明:

当d≤0或d为某大于0的完全平方数时,该方程有唯一解:x=±1,y=0;当d>0且不是完全平方数时,该方程有无数组正整数解。

不过数学家们的探究精神一般不会止步于此。

有人提出将等号右边的1变成-1,并将这个新的方程称为负佩尔方程( II型佩尔方程),结果整数解的情况立刻变得复杂了许多。

时间拨到1993年,当时数学家彼得·史蒂文哈根(Peter Stevenhargen)提出了一个公式,对负佩尔方程的整数解情况给出一个精确的答案。

而这个猜想提出后的30年,数学界一直无法证明它的正确性。

但现如今,来自康考迪亚大学的卡罗·帕加诺(Carlo Pagano)和密歇根大学的皮特·科伊曼斯(Peter Koymans),终于给出了猜想的“正解”。

帕加诺的导师Hendrik Lenstra教授甚至对此评价说:

这个成果为数论的一个分支开辟了新篇章。

数论中的经典:佩尔方程

在介绍负佩尔方程之前,让我们先来了解一下经典的佩尔方程从何而来。

佩尔方程,其实与佩尔完全无关。

这一理论最早由费马(Pierre de Fermat)进行深入研究,由拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)给出解决方案,但后来因为被欧拉(Leonhard Euler)误记为佩尔提出,就阴差阳错的流传下来。

它的具体形式为:x2-d*y2=1

当d是正整数且不是完全平方数,则存在无穷多个解。

举个例子,数学史上有个经典的“阿基米德群牛问题”:

太阳神养了一群牛,这些牛有公有母,分白色、黑色、黄色和花色四种颜色,给定一系列条件,求解牛的总数有多少?各种颜色的牛分别是多少?

这个问题起一直以来吸引了很多数学家的兴趣,最后经过一系列计算,被演化为求解一个佩尔方程:

x2-4729494*y2=1

2000年,伦斯查(Lenstra)完全解决了这个问题,他得出了阿基米德群牛问题的所有解:

近30年无人解开的数学难题:终于有答案了

不仅解的数量多,牛的最小数量也让人惊呼:或许只有真·太阳神才能管理了。

不同于佩尔方程,负佩尔方程的整数解情况要复杂得多。

负佩尔方程

前文提到,负佩尔方程可表示为:x2-d*y2=-1;d为整数。

显然,当d≤0,以及d为大于1的完全平方数时,方程无整数解。

此外,负佩尔方程的整数解复杂性还体现在:

负佩尔方程中的很多d值都无整数解。据已知规则得出,d不能是3、7、11、15的倍数等。

但除了这些值外,并不是其他的d值就一定有整数解。例如当d=3时,x2–3*y2=-1,无论沿着数轴看多远,都永远找不到解。

但事实上,排除3、7、11、15的倍数后,并不是取其他的d值,负佩尔方程就一定有整数解。

给定d值后,首先需要求出负佩尔方程的基本解。

对负佩尔方程的求通解可使用这个公式:

近30年无人解开的数学难题:终于有答案了

其中,这里的n为任意正整数;a和b则是负佩尔方程的基本解,并有如下等式:

近30年无人解开的数学难题:终于有答案了

x0和y0就是经典佩尔方程的基本解。

更多与之相关的细节研究可参考论文:

近30年无人解开的数学难题:终于有答案了

研究者简介

最后,来看看这两位证明这个30年前猜想的数学家们吧——

卡罗·帕加诺(Carlo Pagano),是加拿大康考迪亚大学的助理教授,主要研究方向是数论。

此前分别获得了格拉斯哥大学和马克斯·普朗克研究所的数学博士后学位,博士毕业于莱顿大学数学专业,导师是Hendrik Lenstra。

皮特·科伊曼斯(Peter Koymans),目前正在密歇根大学攻读博士后,主要研究方向是数论及其周边领域。

近30年无人解开的数学难题:终于有答案了

此前在马克斯·普朗克数学研究所从事博士后研究,博士毕业于莱顿大学数学专业,导师是Jan-Hendrik Evertse和Peter Stevenhagen。

可以看出,两人的学习轨迹有很多重合的部分,不仅如此,他们在研究生时期也是同学。

为了这项研究,两人整整一年天天见面,每天在黑板上进行各种演算,互相完善对方提出来的想法,就连午餐时间都不放过,如果有人在独处时有了新想法,就会随时发短信通知另一个人。

尽管非常有挑战性,科伊曼斯却在回忆起这段时间时说:“我们一起做这件事很有趣。”

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